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By Bodo Pareigis

Die desktop Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den laptop erschlossen werden. Die computing device Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der desktop Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der computing device Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der laptop Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizenumformungen verändern. Das sieht man sofort für jede eineine der möglichen 47 elementaren Spaltenumformungen, weil durch sie in der ersten Zeile nur die Nullen betroffen sind. In Falle des ersten Zeilenvektors ( 1 , 0 , . . , 0 ) wird auch die erste Spalte der Matrix N nicht geändert, weil für diese Spalte keine Umformungen von N' induziert werden. D a die Matrix N' kleiner als die Matrix M ist (gemessen an der Anzahl der Zeilen), kann man sie per Induktionsannahme durch endlich viele elementare Spaltenumformungen in eine Stufenmatrix umformen.

22 S a t z . Sei M eine mxn-Matrix und x-M = b ein lineares das mindestens eine Lösung besitzt. Dann ist die Dimension Gleichungssystem, des Lösungsraumes m — rg(M). B E W E I S : folgt aus der vorhergehenden Diskussion. 23 Satz. Sei x • M — b ein lineares Gleichungssystem mit einer m x n-Matrix. Dann gelten: a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn r g ( ^ ) = r g ( M ) . b) Das Gleichungssystem ist genau dann für alle b £ K n lösbar, wenn r g ( M ) = n. c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösung genau dann eindeutig, wenn r g ( M ) = rn.

Eine einfache Abzahlung ergibt jetzt die Aussage des Satzes. • W i r betrachten einen Vektorraum V mit zwei Basen 6 . . , 6 l 5 n und c i , . . , c . n D a sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination der Basiselemente schreiben läßt, gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten a»j mit b{ = J]J=i Betrachten wir nun die Einbettung { & i , . . ,... 2 Lineare Abbildungen und Matrizen 33 wird sie durch die lineare Abbildung g = \dy auf ganz V fortgesetzt. 32 ist dieses die einzige mögliche Fortsetzung.

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Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik by Bodo Pareigis


by James
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